SEGUNDO CORTE

"Síntesis de operaciones con matrices y sistemas de ecuaciones lineales"

Estructura soluciones de matrices y determinantes solucionando problemas del entorno educativo. 

Combina elementos para solución de sistemas de ecuaciones lineales solucionando problemas del entorno educativo.

TEMA 2: Matrices y determinantes.

SUBTEMAS:

1.- Definición de matriz, notación y orden. 

2.- Operaciones con matrices. 

3.- Clasificación de las matrices. 

4.- Transformaciones elementales por reglón. Escalonamiento de una matriz. Núcleo y rango de una matriz. 

5.- Cálculo de la inversa de una matriz. 

6.- Definición de determinante de una matriz. 

7.- Propiedades de los determinantes. 

8.- Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta. 

9.- Aplicación de matrices y determinantes. 

TEMA 3: Sistema de ecuaciones lineales.

SUBTEMAS:

1.- Definición de sistemas de ecuaciones lineales. 

2.- Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución. 

3.- Interpretación geométrica de las soluciones. 

4.- Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss Jordán, inversa de una matriz y regla de Cramer. 

5.- Aplicaciones. 

"TEMA  2, SUBTEMA 1"
Definición de matriz, notación y orden. 

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n). Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. 

Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.

Ejemplo:

Dada la matriz:

que es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] es el 7

La matriz:

es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.

"TEMA  2, SUBTEMA 2"
Operaciones con matrices.

Se considera un álgebra de matrices, en la que definimos sobre ellas operaciones con sus respectivas propiedades.

Las operaciones más comunes son:

Operaciones de transposición: 

La transpuesta de una matriz A =   de orden (m,n) es una matriz de orden (n,m), que se obtiene intercambiando filas por columna (o l que es igual, columnas por filas).

Suma:

Dadas dos matrices del mismo orden A = [ ]  y B =  se definen la suma como otra matriz C=  de igual orden.

Diferencia: 

Dadas dos matrices del mismo orden A = [ ]  y B = [ ] se definen la  diferencia  como otra matriz C=[ ] de igual orden.

Producto por un numero:

Dada una matriz  y un numero , el producto B =  que se obtiene multiplicando por  cada uno de los elementos de la matriz A.

Combinación lineal:

Dadas las matrices A =   , todas del mismo orden y los números , se dice que la matriz   A+  = N, es combinación lineal. 

"TEMA  2, SUBTEMA 3"
Clasificación de las matrices. 

Matriz fila:

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna:

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular:

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada:

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

        

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

        

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula:

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior:

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior:

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal:

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar:

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad:

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta:

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

Matriz simétrica:

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

Matriz anti simétrica o hemisimétrica:

Una matriz anti simétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -At.

"TEMA  2, SUBTEMA 4"
Transformaciones elementales por reglón. Escalonamiento de una matriz. Núcleo y rango de una matriz. 

Las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación.

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los n´umeros de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer n´umero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:

1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.
2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Por ejemplo, entre las matrices:

A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.

La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.

Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:

1. Intercambiar la posición de dos filas.
2. Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
3. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera. 

Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.

=Teorema=

A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.

Definición importante: 

Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.

"TEMA  2, SUBTEMA 5"
Cálculo de la inversa de una matriz. 

Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij). 

Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica 

Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

Método de Gauss-Jordán para el cálculo de la matriz inversa El método de Gauss - Jordán para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.

"TEMA  2, SUBTEMA 6"
Definición de determinante de una matriz. 

El determinante de una matriz cuadrada es un número real cuya definición exacta es bastante complicada. Por ello, definiremos primero el determinante de matrices pequeñas, y estudiaremos métodos y técnicas para calcular determinantes en general. Solamente se puede calcular el determinante a matrices cuadradas.

En cuanto a la notación, a veces el determinante se escribe con la palabra det, y otras veces se indica sustituyendo los paréntesis de la matriz por barras verticales.

El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales. 

• El determinante de una matriz es un número. 

• Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular. 

• Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.

Un sistema singular es cuando en el sistema de ecuaciones se tiene a más de una ecuación con el mismo valor de la pendiente. Por ejemplo ecuaciones que representan líneas paralelas o ecuaciones que coinciden en los mismos puntos de graficación.

En un sistema mal condicionado es difícil identificar el punto exacto en que las líneas de las ecuaciones se interceptan.

"TEMA  2, SUBTEMA 7"
Propiedades de los determinantes. 

En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades que facilitan las operaciones de cálculo. Tales propiedades son:

• 1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero.
• 2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es nulo.
• 3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero.
• 4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.
• 5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número.
• 6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
• 7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una combinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de su determinante no se altera.

Otras propiedades de los determinantes:

• 1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su traspuesta: |A| = |At|.
• 2. El determinante de un producto de matrices coincide con el producto de los determinantes de cada matriz:|A × B| = |A| × |B|.
• 3. Cuando una matriz tiene inversa, su determinante es distinto de cero; análogamente, si el determinante de una matriz no es nulo, dicha matriz tiene inversa.
• 4. El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante de la matriz. 
• 5. La suma de los productos de los elementos de una fila o columna de una matriz por los adjuntos de otra fila o columna es siempre nula.
• 6. La matriz de los adjuntos de una matriz A dada de dimensión n tiene un determinante igual al determinante de A elevado a n-1.

El método de Gauss:

La aplicación de las propiedades de los determinantes permite obtener el valor de un determinante dado a través de su transformación en otro de igual valor. Un procedimiento particularmente interesante es el llamado método de Gauss, que consiste en:

• Elegir el primer elemento de la diagonal principal del determinante.
• Aplicar las propiedades de cálculo de los determinantes hasta lograr que todos los elementos de la columna del elegido, salvo él mismo, sean iguales a cero.
• Elegir el segundo elemento de la diagonal principal y aplicar las propiedades de los determinantes para obtener que todos los elementos de su columna situados debajo de él sean nulos.
• Aplicar sucesivamente este método hasta obtener un determinante triangular o diagonal, cuyo valor será el producto de los elementos de su diagonal principal.

Rango de una matriz:

Dada una matriz cuadrada A de orden n, es posible considerar múltiples submatrices también cuadradas de orden h, siendo h £ n. El determinante de cada una de estas submatrices se dice menor de orden h de la matriz A.

Entonces, se llama rango de una matriz al máximo orden de sus menores no nulos. El rango se simboliza por rango (A).

"TEMA  2, SUBTEMA 8"
Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta. 

Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si todos los componentes de su diagonal principal son iguales a uno y todos los demás componentes que no están en la diagonal principal son iguales a cero.  La matriz identidad se representa con la letra I (la letra i mayúscula).

Sea A una matriz cuadrada n x n.  Entonces una matriz B es la inversa de A si satisface  A ∙ B = I  y  B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n.

La inversa de A se representa por A-1.  Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I.

No toda matriz cuadrada tiene una inversa.

Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.

Teoremas:

• Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces AI = IA = A.
• Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A.
• Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es única.
• Sean A y B matrices de orden n x n invertibles.  entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1A-1.

Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A/I, donde I representa la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.   Efectuamos operaciones elementales con las filas de A/I hasta que la matriz A se transforme en la matriz identidad I.  Luego la matriz que contiene los componentes a la derecha de la línea vertical es la inversa de A, esto es, A-1.

"TEMA  2, SUBTEMA 9"
Aplicación de matrices y determinantes. 

Matrices cuadradas: Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz identidad Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito trA, es la suma de los elementos diagonales. La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad).

Para cualquier matriz A,

A· I = I ·A = A.

Matrices triangulares: Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices.

son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales:Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn ). Por ejemplo,  

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por

diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).

Traspuesta de una matriz La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m ð n, entonces AT =

es la matriz n ð m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B)T = AT + BT.

2. (AT)T = A.

3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB)T = BTAT.

Matrices simétricas Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,

si AT = -A.

"TEMA  3, SUBTEMA 1"
Definición de sistemas de ecuaciones lineales. 

Es un conjunto finito de ecuaciones lineales de las variables    X1, X2,. . . . . . . . . Xn.

Por ejemplo un, sistema general de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas se escribe así: 

Un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas se puede abreviar escribiendo únicamente el arreglo rectangular de números:

Esto se conoce como Matriz Aumentada del sistema. (El término matriz se emplea en matemáticas para denotar un arreglo rectangular de números, las matrices aparecen en varios contextos). 

• Coeficientes:  aij  para i = 1, 2, ....., m   j = 1, 2, .....  n
• Términos independientes:  bi  para i = 1, 2, ....., m
• Incógnitas del sistema: x1, x2,.... xn 

Un conjunto de n números ordenados() es una solución del sistema si satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

Sistemas equivalentes.

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones (no necesariamente han de tener el mismo número de ecuaciones).

Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales.

• Atendiendo a la existencia o no de soluciones, los sistemas lineales se clasifican en:
• Incompatibles: si no tienen solución.
• Compatibles: si tienen al menos una solución.
• A su vez los sistemas de ecuaciones lineales compatibles se clasifican, en función del número de soluciones, en: o    Determinados: si tienen una única solución. o  Indeterminados: si tienen más de una, en cuyo caso tendrán infinitas soluciones.

Los sistemas homogéneos tienen siempre, al menos, la solución (0, 0,… ,0) que recibe el nombre de solución trivial, por ello siempre son compatibles.

El método básico para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en reemplazar el sistema dado por un nuevo sistema que tenga el mismo conjunto solución, pero que sea más fácil de resolver. Por lo general, este nuevo sistema se obtiene en una serie de etapas, aplicando los siguientes tres tipos de operaciones. 

Pasos para resolver la matriz:

• Multiplicar una ecuación (o renglón) por una constante diferente de cero.
• Intercambiar dos ecuaciones (renglones).
• Sumar un múltiplo de una ecuación (renglón) a otra.

Dado que los renglones (líneas horizontales) de una matriz aumentada corresponden a las ecuaciones del sistema asociado, estas tres operaciones equivalen a las operaciones con renglones de la matriz aumentada.

"TEMA  3, SUBTEMA 2"
Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución. 

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar.

Pueden presentar los siguientes casos:

• Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
• Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre: Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones. Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a  uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.

Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:

a) Ecuaciones lineales propiamente tales:

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 y no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo.

Para proceder a la resolución se debe:

Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.

Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.  

  

Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192

4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182

b) Ecuaciones fraccionarias:

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción). 

Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

 

 

c) Ecuaciones literales:

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla

Ejemplo:

"TEMA  3, SUBTEMA 3"
Interpretación geométrica de las soluciones. 

Los finitos pares ordenados (x; y) que satisfagan a la ecuación lineal a.x + b - y + c=0 corresponden a los infinitos puntos de una recta del plano. Por tanto, el problema de resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incognitas es el problema de estudiar la posición de sendas rectas.

• Sistema incompatible (carece de solución) rectas paralelas.
• Sistema compatible y determinado (solución única) rectas secantes.
• Sistema compatible e indeterminado (infinitas soluciones) rectas coincidentes.

Un sistema de ecuaciones diferenciales son aquellas que tienen varias posibilidades para su solución.

Solución única: 

Sólo es posible obtener una solución única para un sistema de ecuaciones lineales intersectado en un único punto determinado, por lo tanto, el sistema de ecuaciones donde tenemos todas las rectas entrecruzándose en un solo punto, se denomina como la solución única del sistema de ecuaciones. Ese sistema de ecuaciones lineales es llamado sistema de ecuaciones lineales consistente independiente. 

Gráficamente se representa:

Sin solución: 

Es posible que un sistema de ecuaciones lineales no tenga solución cuando ningunas de sus rectas se intersectan entre sí ni siquiera en el infinito, ya que sólo el punto de intersección es la solución para el sistema de ecuaciones lineales Esto sólo puede ocurrir en el caso de las rectas paralelas, por lo tanto, para un sistema con este tipo de ecuación tenemos varias ecuaciones que corresponden a la misma recta y que sólo difieren por la pendiente. Dicho sistema se denomina sistema de ecuaciones lineales inconsistente independiente. 

Gráficamente podemos representarlo como:

Infinitas soluciones: Sólo en la situación que las rectas de determinado sistema se encuentren unas con otras en un punto infinito, podemos obtener soluciones infinitas. Esto sólo puede suceder si todas las rectas son la misma recta, ya que es en este escenario que se superpondrán unas con otras dándonos puntos infinitos de intersección, es decir, infinitas soluciones. Este sistema es llamado sistema de ecuaciones lineales consistente dependiente.

Gráficamente podemos representarlo como:

Con la ayuda de un ejemplo, vamos a entender las diversas soluciones posibles. Si tenemos un sistema de ecuaciones lineales dado como:        y = 3x – 2 y = -x – 6

La representación gráfica de las ecuaciones puede darse como:

Ya sabemos que en el caso de una sola recta, todos los puntos que intersectan con esa recta son llamados solución de la ecuación, sin embargo al tratar con un sistema de ecuaciones, la situación es diferente. En tal situación para que un punto sea la solución del sistema de ecuación dado, necesita estar sobre cada recta definida en el sistema de ecuación dado. Por lo tanto, si nos fijamos en el diagrama siguiente:

El punto resaltado con color rojo no puede considerarse como una solución, ya que no se encuentra en ninguna de las rectas definidas en el sistema de ecuaciones.

Tampoco podemos considerar el punto resaltado en color azul como la solución, ya que se encuentra en una sola recta y no en la otra, por lo tanto, puede considerarse como la solución para la recta y =-x - 6, pero no la del sistema dado.

Finalmente, el punto destacado en el color púrpura es la solución del sistema de ecuación, ya que está en ambas rectas definidas para el sistema dado. También ésta es la solución única del sistema dado, porque ambas líneas no se intersectan en algún otro punto. Por tanto, llamamos a este sistema un sistema de ecuaciones lineales consistente independiente.

"TEMA  3, SUBTEMA 4"
Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss Jordán, inversa de una matriz y regla de Cramer. 

Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método de Gauss: 

Este método se basa en la idea de reducir la matriz aumentada a una forma que sea lo suficientemente sencilla como para poder resolver el sistema de ecuaciones a simple vista. 

   

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5

Paso 6

Matriz Triangular Inferior (Matriz aumentada)

En la última etapa del ejemplo anterior se obtuvo la matriz aumentada. Después de la cual, fue fácil obtener la solución 

X = -23.8, Y = 32.6, Z = -7.8 para el sistema original de ecuaciones. 

El sistema de ecuaciones correspondientes es: 

X + 2Y + 3Z = 18                       Y + 2Z = 17                    Z = -7.8

Sustituimos las ecuaciones y la solución  Z = -7.8, Y = 32.6, X = -23.8 se hace obvia examinando la raíz aumentada.

Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método De Gauss-Jordán: 

Se definió un poco la forma de solución de  un sistema de ecuaciones lineales una vez que su matriz aumentada tiene la forma escalonada reducida. Ahora se dará un procedimiento esquemático, conocido como eliminación de Gauss-Jordán, que puede ser empleado para llevar cualquier matriz a la forma escalonada reducida.

     

Paso 1

                                                                Paso 2

                                                                Paso 3

Matriz Identidad

El sistema de ecuaciones correspondientes es: X = -23.8              Y = 32.6                Z = -7.8

Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método de determinantes o regla de cramer:

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:

1. Representar las ecuaciones en matrices

                2. Calcular la determinante de la matriz A

                                                      

                3. Crear las matrices Δ₁, Δ₂ y Δ₃ y calcular sus determinantes 

     

                                                   

4. Calculamos X, Y y Z

X = |Δ₁|/|A| = -238/10 = -23.8

Y = |Δ₂|/|A| = 326/10 = 32.6

Z = |Δ₃|/|A| = -78/10 = -7.8

Solución De Sistemas De Ecuaciones Por El Método De La Inversa:

Sabiendo calcular la matriz inversa y multiplicando matrices también es posible resolver un sistema de ecuaciones lineales, siempre y cuando éste sea de Cramer (es decir, tenga igual número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes no sea nulo).

   

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones utilizando la inversa son los siguientes:                

1. Calcular la inversa de la matriz A:

2.- Multiplicar la inversa de la matriz A por la matriz B

X = 18(-31/10) + 20(17/10) + 10(-1/5) = -23.8

Y = 18(37/10) + 20(-19/10) + 10(2/5) = 32.6

Z = 18(-11/10) + 20(7/10) + 10(-1/5) = -7.8

"TEMA  3, SUBTEMA 5"
Aplicaciones. 

Aplicaciones con relación a los sistemas de ecuaciones

Las matrices son utilizadas en aplicaciones de gráficos de geometría, física e informática. La matriz de las cantidades o expresiones definidas por filas y columnas; tratados como un solo elemento y manipulados de acuerdo con las reglas. Cálculos de matriz pueden entenderse como un conjunto de herramientas que incluye el estudio de métodos y procedimientos utilizados para recoger, clasificar y analizar datos. En muchas aplicaciones es necesario calcular la matriz inversa donde esta calculadora en línea matriz inversa puede ayudarle a sin esfuerzo facilitan sus cálculos para las respectivas entradas.

En casos simples, es relativamente fácil resolver una ecuación siempre y cuando se satisfagan ciertas condiciones. Sin embargo, en casos más complicados, es difícil o engorroso obtener expresiones simbólicas para las soluciones, y por ello a veces se utilizan soluciones numéricas aproximadas.

Ejemplos de la aplicación de un método de solución de sistemas de ecuaciones:

1.- En una empresa se fabrica un producto que tiene costo variable de $5 por unidad y costo fijo de $80,000. Cada unidad tiene un precio de venta de $12. Determine el número de unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de $60,000.

Solución:   Costo = 5u + 80,000.             Venta = 12.      Utilidades = 60,000.  

Entonces:     C = 5u + 80,000.          V = 12u.                       U = 60,000.      

U = V - C        60,000 = 12u  - (5U+80000)     60,000 = 12u - 5u - 80,000  60,000 + 80,000 = 7u     140,000 = 7u       140,000/7 = u         20,000 = u

Al obtener nuestro coeficiente pasamos a sustituirlo:

C = 5(20,000) + 80,000 = 180,000.

V = 12(20,000) = 240,000.

U = 240,000 - 180,000 = 60,000.

Al terminar nos damos cuenta que por este método de sustitución e igualación se puede llegar al resultado.

2.- La empresa “Organicomputer”, fabrica tres modelos de computadoras personales: cañón, clon, y lenta_pero_segura. Para armar una computadora modelo cañón necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por último, para una lenta_pero_segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la fábrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, ¿cuántas computadoras se pueden producir por mes?

Solución:

En nuestro caso las incógnitas es el número de cada tipo de computadora a producir: 

x = número de computadoras cañón

y = número de computadoras clon

z = número de computadoras lenta_pero_segura

Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado pruebas, e instalación de programas.

Nuestras matrices serán:

En esta ocasión se resolverá por Cramer, pero se puede utilizar cualquiera de los métodos (Gauss, Gauss Jordán, Usando la inversa), el resultado debe ser el mismo.

X = |Δ₁|/|A| = -51/-1.5 = 34

Y = |Δ₂|/|A| = -6/-1.5 = 4

Z = |Δ₃|/|A| = -27/-1.5 = 18

Al resolver este sistema obtenemos:

X = 34, Y = 4, Z = 18

34 computadoras Cañón.

4 computadoras Clones.

18 computadoras lentas pero seguras.