PRIMER CORTE

"Aplicación de números complejos para solución de problemas"

Maneja teoremas de números complejos solucionando problemas del entorno educativo. 

Aplica operaciones con números complejos solucionando problemas del entorno educativo. 

TEMA 1: Números complejos.

SUBTEMAS:

1.- Definición y origen de los números complejos. 

2.- Operaciones fundamentales con números complejos. 

3.- Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo. 

4.- Forma polar y exponencial de un número complejo. 

5.- Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. 

6.- Ecuaciones polinómicas.

"SUBTEMA 1"
Definición y origen de los números complejos. 

Definición:

El sistema de números complejos C es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y) de números reales con dos operaciones binarias, adición +, y multiplicación *, definidas como:

(x, y) + (u,v) = (x +u, y+v )

(x, y) · (u, v) = (xu – yv, xv + yu)

Dos números  complejos (x,y) y (u,v) son iguales, si y solo si, x= u y y= v”[1]. 

Un número complejos es una expresión de la forma:

z= x + iy

donde x y y son números reales,  x se denomina la parte real de z, y la parte imaginaria, e  i =-1, el cual tiene la propiedad que i² = -1. ”[2].

Representación geométrica de los números complejos:

Origen:

“La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano”.

"SUBTEMA 2"
Operaciones fundamentales con números complejos.

Los números complejos pueden ser sumados, restados multiplicados o divididos (salvo la división por 0 + 0i), las reglas formales y definiciones son iguales a las que usamos con los números reales.

1)     a + bi = c + di si y solo si a= c  y  b = d

2)     (a + bi) + (c + di) = (a +c) +  (b +d) i

3)     (a + bi) - (c + di) = (a-c) +  (b - d) i

4)     (a + bi)(c+di) = ac + (bc+ad)i +bdi²  = (ac – bd) + (bc + ad)i

5)     

CONJUGADO:

El conjugado Z de un número complejo z = x + iy, está dado por= x – iy.

Ejemplo:

Si z = 3 – 2i, el conjugado de z es  = 3 – (-2i) = 3 + 2i

SUMA Y RESTA:

La suma y resta con números complejos se realiza de la misma manera que con números reales.

Ejemplo:

(7 - 2i) + (3 - 3i) = 10  - 5i

(3 - i) + (2 + 3i) = 5 + 2i

2i + (-4 – 2i) = -4

(-4 + 2i) – (6 - 8i) = -10 – 10i

(5 + 2i) + (−8 + 3i) = −3 + 5i

MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS:

En la multiplicación se siguen las mismas reglas algebraicas que con números reales solo que con números complejos, llegamos a un resultado donde encontramos i², donde i² = -1.

Ejemplo:

DIVICION DE NUMEROS COMPLEJOS:

En la división se hace uso del conjugado del denominador.

Ejemplo:

  

lo primero que hacemos es calcular el conjugado del denominador, y luego multiplicarlo por la división.

"SUBTEMA 3"
Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.

Potencias de i:

"El símbolo i = -1 tiene la propiedad de que i² = -1, de lo cual se puede deducir lo siguiente:

i³ = i²i = (-1)i = -i

i⁴ = i²i² = (-1)(-1) = 1

i⁵ = i⁴i = (1)i = i

i⁶ = i⁵i = (i)(i) = -1

Y así continua hasta que se llegue a la potencia deseada”[2].

Módulo de un número complejo:

“Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir si z = x + yi, el módulo de z es

Ejemplo:

Z = 3 – 4i

"SUBTEMA 4"
Forma polar y exponencial de un número complejo.

FORMA POLAR:

Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy.  Como x = r cos θ    e    y = r sen θ

z puede ser expresado en forma polar como z = r(cosθ + i senθ).

En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos”[1].

r cosθ = x     r senθ = y

Para convertir de forma polar o rectangular:

z = 5 – 5i

FORMA EXPONENCIAL:

La ecuación e^iθ = cos θ + i sen θ que define el simbolo e^iθ, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar.

z = r(cos θ + i sen θ), la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:  z = re^iθ”[1].

Expresión rectangular: Z = x + yi

Forma polar: Z = r(cosθ + i senθ).

“Convertir de rectangular a polar:

Z = 5 - 5i

1. Se saca el modulo de |z| = r

2. Después de tener el módulo se obtiene teta.

(El resultado de la operación es -45 pero el punto (5,-5) se encuentra en el cuarto cuadrante, al encontrarse ahí significa que a 360 se le restara el valor de teta.)

 

"SUBTEMA 5"
Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

Fórmula de De Moivre se aplica para cualquier número complejo z = r(cosθ + isenθ) y para cualquier n∈ Z: z = rⁿ(cosⁿθ + isenⁿθ).

“La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial        " n-ésima " .

1ª, 2ª, 3ª, 10ª (décima), 20ª (vigésima),... n-ésima …

En vez de hablar de la "4ª (cuarta)", "16ª (decimosexta)", etc., si queremos hablar en general decimos la "n-ésima".

Propiedades:

Multiplicación y división:

Puedes "separar" así multiplicaciones dentro de la raíz:

(Suponemos que a y b son ≥ 0)

Esto te ayudará a simplificar ecuaciones en álgebra, y también algunos cálculos:

Ejemplo: 

También funciona con la división:

(b no puede ser cero porque no se puede dividir entre cero)

Ejemplo: 

Suma y restas:

No se puede hacer lo mismo con sumas y restas

"SUBTEMA 6"
ECUACIONES POLINOMICAS

Las ecuaciones polinómicas son un enunciado que plantea la igualdad de dos expresiones o miembros, donde al menos uno de los términos que conforman cada lado de la igualdad son polinomios P(x). Estas ecuaciones son nombradas según el grado de sus variables.

En general, una ecuación es un enunciado que establece la igualdad de dos expresiones, donde en al menos una de estas se tienen cantidades desconocidas, que son llamadas variables o incógnitas. Aunque existen muchos tipos de ecuaciones, generalmente estas son clasificadas en dos tipos: algebraicas y trascendentes.

Primer grado:

Las ecuaciones polinómicas de primer grado, también conocidas como ecuaciones lineales, son aquellas en las que el grado (el mayor exponente) es igual a 1, el polinomio es de la forma P(x) = 0; y es compuesta por un término lineal y uno independiente. Se escribe de la siguiente manera:

ax + b = 0.

Donde:

– a y b son números reales y a ≠ 0.

– ax es el término lineal.

– b es el término independiente.

Por ejemplo, la ecuación 13x – 18 = 4x.

Para resolver ecuaciones lineales se deben pasar todos los términos que contengan la incógnita x a un lado de la igualdad, y los que no se tienen se mueven al otro lado, para así despejarla y obtener una solución:

13x – 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x – 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

De esa forma, la ecuación dada tiene una sola solución o raíz, que es x=2.

Segundo grado:

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, también conocidas como ecuaciones cuadráticas, son aquellas en las que el grado (el mayor exponente) es igual a 2, el polinomio es de la forma P(x) = 0, y está compuesta por un término cuadrático, uno lineal y uno independiente. Se expresa de la siguiente manera:

ax2 + bx + c = 0.

Donde:

– a, b y c son números reales y a ≠ 0.

– ax2 es el término cuadrático, y “a” es el coeficiente del término cuadrático.

– bx es el término lineal, y “b” es el coeficiente del término lineal.

– c es el término independiente.

Resolvente

Generalmente, la solución a este tipo de ecuaciones es dada al despejar x de la ecuación, y queda de la siguiente forma, la cual es llamada resolvente:

Allí, (b2 – 4ac) es llamado discriminante de la ecuación y esta expresión determina el número de soluciones que puede tener la ecuación:

– Si (b2 – 4ac) = 0, la ecuación tendrá una única solución que es doble; es decir, tendrá dos soluciones iguales.

– Si (b2 – 4ac) > 0, la ecuación tendrá dos soluciones reales distintas.

– Si (b2 – 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Por ejemplo, se tiene la ecuación 4x2 + 10x – 6 = 0, para resolverla primero se identifican los términos a, b y c, y después se sustituye en la fórmula:

a = 4          b = 10           c = -6.

Existen casos en los que las ecuaciones polinómicas de segundo grado no tienen los tres términos, y por eso son solucionadas de diferente manera:

– En el caso de que las ecuaciones cuadráticas no tengan el término lineal (es decir, b = 0), la ecuación estará expresada como ax2 + c = 0. Para resolverla se despeja x2 y se aplican las raíces cuadradas en cada miembro, recordando que se deben considerar los dos signos posibles que pueda tener la incógnita:

ax2 + c = 0.

x2 =  – c ÷ a

Por ejemplo, 5 x2 – 20 = 0.

5 x2 = 20              x2 = 20 ÷ 5           x = ± √4             x = ± 2             x1 = 2.            x2 = -2.

Cuando la ecuación cuadrática no tenga un término independiente (es decir, c=0), la ecuación estará expresada como ax2 + bx = 0. Para resolverla se debe sacar el factor común de la incógnita x en el primer miembro; como la ecuación esta igualada a cero, se cumple que al menos uno de los factores será igual a 0:

ax2 + bx = 0.                 x(ax + b) = 0.

De esa forma, se tiene que:

x = 0.                              x = -b ÷ a.

Por ejemplo: se tiene la ecuación 5x2 + 30x = 0. Primero se factoriza:

5x2 + 30x = 0                x (5x + 30) = 0.

Se generan dos factores que son x y (5x + 30). Se considera que uno de estos será igual a cero y se le da solución al otro:

x1 = 0.         5x + 30 = 0           5x = -30           x = -30 ÷ 5         x2 = -6.

Grado mayor:

Las ecuaciones polinómicas de grado mayor son aquellas que van desde el tercer grado en adelante, que pueden ser expresadas o resueltas con la ecuación polinómica general para un grado cualquiera:

an * xn + an-1 * xn-1 + … + a1 * x1 + a0 * x0 = 0

Esta es utilizada porque una ecuación con un grado mayor a dos es el resultado de la factorización de un polinomio; es decir, esta expresada como la multiplicación de polinomios de grado uno o mayor, pero sin raíces reales.

La solución de este tipo de ecuaciones es directa, porque la multiplicación de dos factores será igual a cero si alguno de los factores es nulo (0); por lo tanto, se debe resolver cada una de las ecuaciones polinómicas halladas, igualando cada uno de sus factores a cero.

Por ejemplo, se tiene la ecuación de tercer grado (cúbica) x3 + x2 +4x + 4 = 0. Para resolverla se tienen que seguir los siguientes pasos:

– Se agrupan los términos:

x3 + x2 +4x + 4 = 0                     (x3 + x2 ) + (4x + 4) = 0.

– Se descomponen los miembros para sacar el factor común de la incógnita:

x2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0                  (x2 + 4)*(x + 1) = 0.

– De esa forma se obtienen dos factores, que deben ser igualados a cero:

(x2 + 4) = 0                          (x + 1) = 0.

– Se puede observar que el factor (x2 + 4) = 0 no va a tener una solución real, mientras que el factor (x + 1) = 0 sí. Por lo tanto, la solución es:

(x + 1) = 0                     x = -1.

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